ЦМКО.Уровень математической подготовки школьников США

Уровень математической подготовки

школьников США

В рамках основных положений реформы математического образования и обучения математике по Стандартам, разработанным в 1989 г., в США регулярно проводятся национальные и международные обследования уровня математической подготовки американских школьников.

Остановимся на результатах некоторых последних широкомасштабных исследований в этой области. В 1992 году Национальным центром по образовательной статистике (NCES – National Center for Educational Statistics) США было проведено обследование американских школьников на предмет сформированности у них умений решать задачи. Обследованием было охвачено около 10 тыс. школ из различных штатов и 250.000 школьников разных ступеней обучения: начальной (1-5 классы), средней (6-8 классы) и старшей (9-12 классы). Было проверено и обработано около 4 млн. письменных работ школьников [1].

Надо отметить, что до появления математического Стандарта-89, в американской школьной математике доминировал тестовый подход к оценке знаний и умений учащихся. В основном, использовались тесты с выбором ответа из предложенных 4-5 вариантов, для выполнения которых не требовалось приводить решение задачи. Согласно Стандарту-89 рекомендуется широкое внедрение в школьную математику альтернативных систем оценки учебных достижений, одной из которых является, привычное для российского школьника, решение задач с подробным описанием хода решения. Для американских школьников это явилось, мягко говоря, несколько необычным занятием.

В целом, результаты Обследования-92 выглядят достаточно удручающе:

· только 42% четырехклассников, 53% восьмиклассников и 40% двенадцатикласников справились с простейшими задачами, в которых требовалось привести краткое решение;

· в задачах с более сложным решением и его обоснованием наблюдается форменный провал: лишь 16% четырехклассников, 8% восьмиклассников и 9% двенадцатиклассников смогли представить более или менее удовлетворительные решения;

· от 1/3 до 2/3 всех учащихся продемонстрировали заведомо слабое понимание сути и условия задач (о чём ярко свидетельствует приведенный выше пример с «возрастом пастуха»);

· 25% учащихся просто решили оставить свои листы для ответов – чистыми, даже без малейших попыток решения;

· большинство из тех, кто решил предложенные задачи, испытывал явное затруднение в обосновании решений;

· наблюдались статистически значимые различия среди школьников по некоторым демографическим показателям: так достижения белых учащихся были гораздо выше результатов, показанных афро-американцами и испанцами; достижения городских школьников выше, чем сельских; достижения учащихся из частных школ выше, чем государственных [1].

В то же время, результаты обследования подчеркнули преимущество задач перед тестами в аспекте информационной ёмкости результатов (измерения не только уровня заний, но и уровня сформированности умений решать задач, обоснования хода решения, понимания смысла математических терминов и процедур,…).

Приведём конкретные результаты уровня математической подготовки американских школьников по различным темам курса математики. По теме «Числа и операции над ними» учащимся 4 и 8 классов была предложена следующая задача: «Джил хочет заработать 45 долларов на школьную загороднюю поездку. Она зарабатывает 2 доллара в день по понедельникам, вторникам и средам, а по четвергам, пятницам и субботам – 3 доллара в день. В воскресенье Джил не работает. Сколько недель ей потребуется проработать, чтобы получить 45 долларов на поездку?» (Ответ: 3 недели)

Правильно решили эту задачу – 22% четырехклассников и 59% восьмиклассников. Отдельные цифры по регионам выглядят следующим образом: учащиеся из северовосточных штатов (Нью Йорк, Нью Хемпшир, Массачусетс, Пенсильвания, Коннектикут и др.) – 28% (четырехклассники) и 59% (восьмиклассники) правильных ответов; из юговосточных штатов (Флорида, Джорджия, Алабама, Южная Каролина и т.д.) – соответственно 16% и 53%; из центральных штатов (Огайо, Индиана, Мичиган, Иллинойс, Висконсин и др.) – 22% и 63%; из западных (Вашингтон, Орегон, Айдахо, Невада и т.д.) – 23% и 61% соответственно. Белые школьники (26% четырехклассники и 65% восьмиклассники) показали выше результаты, чем их афро-американские (соответственно 11% и 37%) и испанские (13% и 51% соответственно) сверстники.

Следующая задача по теме «Измерения»: «На листочке в клетку нарисовать прямоугольник с площадью 12 квадратных единиц (если 1 клетка – 1 квадратная единица)». Количество правильных ответов: 4-х классники – 42%, 8-ми классники – 66%.

Вероятностная задача: «Стив вытаскивает наугад два шара из коробки, в которой перемешаны белые и синие шары. Первая попытка Стива дала следующий результат: сначала он вытащил белый шар, а затем – синий. Он записал этот результат в таблицу. Перечислить остальные возможные результаты испытаний».

Ответ:

Правильные ответы по вероятностной задаче распределились следующим образом: 4-х классники – 24%, 8-ми классники – 59%.

Задача по геометрии для восьмиклассников: «На рисунке (рис. 1) показаны 3 различных сечения цилиндра. Под каждым цилиндром записать название фигуры, которая лежит в сечении».

Следующая статистическо-геометрическая задача ввела американских восьмиклассников в явное заблуждение: только 8% (!?) школьников привели правильное решение. Условие задачи: «США с каждым годом «производит» все больше мусора.

Что-то «неладно» на этой диаграмме (рис. 2). Объяснить, что именно?»

Один из возможных вариантов ответа: «На диаграмме цилиндрический мусорный бак в 1980 г. увеличен вдвое как по высоте, так и по радиусу. Тогда как по весу мусора (80 млн.т – в 1960 г. и 160 млн.т – в 1980 г.) должна быть удвоена только высота. В противном случае (по размеру бака на диаграмме) мы должны были бы получить 640 млн.т мусора в 1980 г.».

Задача на измерение для 12-ти классников: «На рисунке (рис. 3) точка А зафиксирована в положении (0; 6), а точка В, первоначально находящаяся в положении (4; 0), движется по оси (Ох) в направлении начала координат. По мере движения точки В соответственно изменяется и площадь треугольника АОВ. Учитывая это, заполнить таблицу зависимости площади треугольника от абсциссы точки В».

С этой задачей справились 29% американских старшеклассников. На примере этой задачи явно заметна разница между достижениями белых школьников (33% правильных ответов) и их черных сверстников (12% правильных ответов). А также между достижениями старшеклассников из северовосточных (38%) и юговосточных (20%) штатов, как впрочем и между результатами учащихся частных (42%) и государственных школ (27%).

Приведём пример ещё одной задачи на геометрические измерения для старшеклассников: «Найти, с точностью до единиц, площадь параллелограмма по данным, представленным на рисунке (рис. 4)».

Эту задачу правильно решили лишь только 8% американских старшеклассников. Хотя для решения этой задачи разрешалось пользоваться калькулятором.

Как и у восьмиклассников, так и у двенадцатиклассников определённую трудность вызвали статистические задачи. Так, правильное решение следующей задачи привели только 9% старшеклассников. Условие задачи: «По данным диаграммы (рис. 5) найти средний пульс 100 человек. При подсчете можно использовать среднее значение пульса для каждого интервала, например, 55 для 15 человек на интервале от 50 до 60 ударов в минуту.

Подчеркнем еще раз, что все рассмотренные выше задачи были на среднем уровне сложности в рамках школьных стандартов. Единственное новое требование для американских школьников заключалось в том, чтобы найти и обосновать ход решения задачи, а не просто выбрать готовый ответ из предложенных 4-5 вариантов. В основном, это и составило для американских школьников наибольшую трудность. Утрируя ситуацию, можно сделать вывод: одно дело играть в «лоторею», другое дело – решать задачи.

В заключении обзора результатов обследования-92, хотелось бы привести для сравнения одну задачу повышенной сложности для старшеклассников. Установка на решение данной задачи была следующая: «Решение этой задачи должно быть как можно более детальным. Используйте все возможные средства (чертежи, цифры, слова,…) для того, чтобы решение было понятным для любого другого человека. Очень важно представить всё решение, включая черновые наброски».

Условие задачи: «На основании последовательности: 15= 225; 25=625; 35=1225 и т.д., можно сделать заключение: «Если положительное целое число, оканчивающееся на 5, возвести в квадрат, в результате получится число, оканчивающееся на 25». Обосновать это утверждение». (Указание: воспользуйтесь разложением (10n + 5)=…)

Один из возможных вариантов решения: Пусть n – целое положительное число, тогда число, оканчивающееся на 5, можно представить в виде (10n+5), а квадрат этого числа можно разложить по формуле квадрата суммы: (10n + 5)=100n + 100n + 25 = 100(n+ n) + 25.

Очевидно, что целое положительное число 100(n+ n) – оканчивается двумя нулями, тогда число 100(n+ n) + 25 – оканчивается на 25».

Результаты распределились следующим образом: 17% - нет никакого ответа, 64% - неправильное решение, 16% - неполное решение, 1% - частично правильное решение, 1% - удовлетворительное решение, 1% - полное правильное решение. Иными словами, с задачей справились лишь только 3% учащихся старших классов.

Таким образом, результаты национальных исследований (на примере обследования-92 Национального центра по образовательной статистике) показывают, что решение многоступенчатых задач явилось для американских школьников, привыкших к тестам, занятием достаточно сложным, а в некоторых случаях – просто непосильным. Следует отметить, что данное исследование проводилось спустя 3 года после принятия Стандарта-89 в области школьной математики и спустя 9 лет после провозглашенной в 1983 г. Национальным советом учителей математики США (NCTM – National Council of Teachers of Mathematics) «декады решения математических задач». А воз оказался и поныне там…

Обратимся теперь к некоторым международным исследованиям уровня математической подготовки школьников разных стран. В 1997 году были опубликованы результаты обследований уровня образования в различных странах мира, проведенных Центром образовательных исследований и инноваций Организации по экономическому сотрудничеству и развитию (OECD – Organization for Economic Cooperation and Development). Обследованием были охвачены учащиеся 4-х и 8-х классов государственных школ стран участниц этой организации. Сводная таблица (табл. 1) результатов приведена ниже [2].

Таблица 1. Результаты международного обследования уровня математической подготовки школьников из различных стран мира (OECD-97)

Надо отметить, что по сравнению с международным обследованием, проведенным Национальным центром по образовательной статистике США (NCES) в 1991 году (в этом обследовании принимали участие советские школьники), американские 4-х классники сделали значительный шаг вперед, в то время как 8-ми классники остались примерно на тех же позициях [3]. Результаты обследования-91 приведены в следующей таблице (табл. 2).

Таблица 2. Результаты международного обследования уровня математической подготовки школьников из различных стран мира (NCES – 91)

В целом, если сравнивать динамику национальных результатов американских школьников по математике в течении последних 20 лет, то, согласно данным Национального центра по образовательной статистике [4], 4-х классники выглядят получше относительно достижений 8-ми и 12-ти классников. Результаты представлены на следующей диаграмме (рис. 6).

Как видно из этой диаграммы 4-х классники с 1973 по 1994 г. продвинулись на 12 пунктов, в то время как 8-ми классники – на 8 пунктов, а 12-ти классники – на 2 пункта. Баллы соответствуют следующим уровням математической подготовки:

150 – уровень владения элементарной арифметикой,

200 – уровень сформированности базовых математических знаний,

250 – уровень сформированности элементарных умений решать задачи,

300 – уровень сформированности умений рассуждать, логических умений,

350 – уровень сформированности умений решать сложные задачи.

Статистически более значимые изменения в математических достижениях за этот период наблюдаются у афро-американских и испаноязычных школьников по сравнению с их белыми сверстниками, а также в юговосточных и западных штатах по сравнению с остальными регионами США (данные приведены на следующих двух диаграммах (рис. 7 и рис. 8) на примере достижений 8-ми классников).

Как видно из диаграммы (рис. 7), прогресс афро-американских (black) восьмиклассников (24 пункта) и испаноязычных (Hispanic) школьников (17 пунктов) значительно заметнее изменений в достижениях белых (white) восьмиклассников (7 пунктов) за период с 1973 по 1994 год. Наиболее заметный прогресс по регионам, согласно приведенной диаграмме (рис. 8), наблюдается у юговосточных (S-E) и западных (W) школьников по сравнению со школьниками из центральных (С) и северовосточных штатов (N-E) [4].

Вернёмся к международному обследованию OECD-97 [2]. В нем наряду с количественными, приведены и некоторые качественные индикаторы состояния математического образования в различных странах мира. В частности, лидеры в области математического образования Япония и Корея – страны, в которых очень высокая наполняемость классов: соответственно 96% и 97% учащихся обучаются в классах с более чем 35 учащимися. Средняя наполняемость классов в некоторых европейских странах, например: Швейцарии и Нидерландах, - 21-25 учащихся. К этой же цифре стремятся снизить наполняемость классов и в США.

Наиболее распространенной формой организации обучения математике в Японии и Корее является фронтальная форма, которая занимает соотвественно 78% и 89% учебного времени. В то время как в США фронтальным формам на уроках математики уделяется 49% учебного времени, а 26% - обучению в малых группах (лидер в этой категории – Нидерланды (49%), аутсайдер – Япония (7%)). Иными словами, различные формы организации обучения математике могут быть эффективными при различных обстоятельствах: так, традиционные фронтальные формы организации обучения математике в переполненных классах не мешают Японии и Корее обеспечивать высокий уровень математической подготовки школьников. С другой стороны, Швейцария и Нидерланды добиваются неплохих результатов при доминировании обучения в малых группах в небольших по наполняемости классах.

Существенные различия наблюдаются в распределении рабочего времени учителей математики по различным видам профессионально-педагогической деятельности. Так, японские и корейские учителя уделяют больше времени профессиональному самообразованию (в среднем 1,5 часа в неделю) по сравнению с американскими учителями математики (0,9 часа в неделю). Скандинавские (шведские и норвежские) учителя математики в 1,5 раза больше времени по сравнению с американскими учителями уделяют поурочному планированию.

Немаловажное значение в ряду других показателей имеет государственная поддержка учителей: средняя годовая зарплата корейских учителей эквивалентна 33.580 долларов, нидерландских учителей – 35.340 долларов, и самых высокооплачиваемых в мире швейцарских учителей – 50.400 долларов.

Одним из наиболее представительных международных исследований последних лет явилось III международное обследование уровня естественно-математической подготовки школьников в различных странах мира (TIMSS – Third International Mathematics and Science Study). Результаты этого исследования по 4-х классникам были опубликованы в ноябре 1996 г., по 8-ми классникам – в июне 1997, и наконец, по старшеклассникам – в феврале 1998 г. Обследованием было охвачено около 1,5 млн. учащихся из 41 страны мира [5].

Рассмотрим результаты исследований старшеклассников, ибо именно эта ступень наиболее полно характеризует конечную эффективность работы средней школы. Обследование проводилось как по общей выборке старшеклассников, так и по продвинутому уровню (российский аналог – учащиеся физико-математических классов и школ), включавшему в себя решение задач повышенной сложности. География стран, принявших участие в обследовании, оказалась достаточно обширной: наиболее представительной выглядела Европа (включая школьников из Российской Федерации и ещё одной страны из бывшего СССР - Литвы), Америку представляли США и Канада, Африку – ЮАР, остальной мир – Австралия и Новая Зеландия. К сожалению, в этом обследовании не приняли участие страны юго-восточной Азии (Корея, Япония, Тайвань и т.д.) – традиционно сильные страны по уровню математической подготовки школьников. Общее количество стран, охваченных обследованием, – 21, из них европейских стран – 16. Результаты по общей выборке оказались следующими (табл. 3).

Таблица 3. Результаты международного обследования уровня математической подготовки старшеклассников из различных стран мира (TIMSS-98)

Американские старшеклассники оказались в хвосте, продемонстрировав 19-ый результат. Надо признать, что и российские школьники в общей выборке оказались далеко не на высоте (только лишь 16-ое место среди 21 страны-участницы данного обследования). Приведем примеры некоторых заданий, предлагавшихся в обследовании общей выборки школьников.

1. «Эксперты утверждают, что 25% всех серьёзных аварий велосипедистов составляют травмы головы, из которых, к сожалению, 80% случаев заканчиваются смертельным исходом. Какой процент от всего количества аварий велосипедистов составляют случаи головных травм со смертельным исходом?»

2. «Келли решила прокатиться на своём автомобиле. Во время поездки Келли пришлось резко притормозить, чтобы пропустить перебегавшую дорогу кошку. После этого Келли решила возвратиться домой по кратчайшему маршруту. По графику (рис. 9) определить максимальную скорость движения автомобиля».

3. «Стю хочет перевязать подарочную коробку, размеры которой изображены на рисунке (рис. 10), лентой и оставить 25 см на бант. Какой длины лента понадобится Стю для перевязки?»

Распределение результатов по приведенным выше трем задачам представлено в следующей таблице (табл. 4).

Таблица 4. Распределение баллов между школьниками различных стран

Лучше всего американские старшеклассники выполнили задачу №2 с графиком скорости (средний бал американских школьников - 84.5 превышает средний международный балл – 74.0) и хуже всего – задачу №3 на определение длины подарочной ленты (соответственно 32.0 и 45.2).

На этой же таблице представлены результаты российских старшеклассников по тем же самым задачам. Россияне оказались «слабее» американцев по первой и второй задачам, но «сильнее» – по решению третьей геометрической задачи.

Как обстоят дела с решением задач повышенной сложности более продвинутыми по уровню математической подготовки старшеклассниками. Как и следовало ожидать, и в этой категории американские школьники по-прежнему заняли последние позиции. Зато приятно удивили российские старшеклассники: они оказались на лидирующих позициях вместе со сверстниками из Франции и Швейцарии. Результаты обследования (как по общему курсу математики, так и по отдельным её разделам, а именно: «Числа и уравнения», «Производная и интеграл», «Геометрия») представлены в следующей таблице (табл. 5).

Таблица 5. Результаты международного обследования подготовки старшеклассников по различным разделам курса математики

Рассмотрим в качестве примеров некоторые из задач повышенной сложности, предлагавшиеся участникам обследования.

1. «В треугольнике АВС, изображенном на рисунке (рис. 11), высоты ВН и СМ пересекаются в точке Р. Величина угла МРВ равна 40, а величина угла РВС равна 20. Доказать, что треугольник АВС – равнобедренный».

Один из возможных вариантов доказательства:

4. АВС =АСВ = 50+ 20= 70, откуда следует, что треугольник АВС – равнобедренный.

2. «Колода из 24 карт пронумерована от 1 до 24. Если карты перемешаны, то какова вероятность того, что число на произвольно выбранной из колоды карте будет нацело делиться на 4 или на 6?»

3. «По данному на рисунке (рис. 12) графику определить значение интеграла

A) S1 + S2,

B) S1 – S2,

C) S2 - S1,

D) I S1 – S2 I,

E) 0.5 (S1 + S2).

Разброс результатов по трём задачам представлен в следующей таблице (табл. 6).

Таблица 6. Распределение баллов между школьниками различных стран

по результатам решения задач повышенной сложности

Очень слабые результаты у американских старшеклассников оказались по первой (геометрической) задаче на доказательство и по третьей задаче на определение значения интеграла. Данные по первой задаче свидетельствуют о том, что у американских школьников недостаточно сформированы элементарные геометрические знания свойств вертикальных и смежных углов, а также умения доказывать теоремы. Результат по третьей задаче показывает значительные пробелы у американских школьников в понимании геометрического смысла определённого интеграла. Что касается второй, вероятностной задачи, то результаты американских старшеклассников выглядят неплохо по сравнению со средним международным уровнем (62.4 и 50.2 соответственно). Это объясняется, прежде всего, наличием курса «Вероятность и статистика» в американских учебных программах по математике. Не удивительно и то, что результаты российских старшеклассников по этой же задаче оказались одними из самых низких: из-за отсутствия курса теории вероятностей и статистики в российских школьных программах.

В целом, американские старшеклассники как по уровню общей, так и продвинутой математической подготовки продемонстрировали результаты значительно ниже среднего международного уровня.

Использованная литература

1. Can Students Do Mathematical Problem Solving? – Washington DC: US Department of Education, The Nation’s Report Card, 1993.

2. Education at a Glance. Indicators of Organization for Economic Cooperation and Development. – Paris: OECD, 1997.

3. Educational Indicators. An International Perspective. – Washington DC: US Department of Education, 1996.

4. NAEP 1994 Trends in Academic Progress.- Washington DC: US Department of Education, 1996.

5. Pursuing Excellence: Initial Findings from the Third International Mathematics and Science Study (TIMSS). – Washington DC: US Department of Education, 1998.